30.6.07

Matemática e Indices de Precios

NOTAS INICIALES
MATEMATICA E INDICES DE PRECIOS
Una explicación elemental

1. Un razonamiento crítico sobre la enseñanza de la matemática
2. Lógica corriente y lógica matemática
3. Las tres fórmulas de los índices de precios

1. Un razonamiento crítico sobre la enseñanza de la matemática

En las explicaciones matemáticas relacionadas con la economía, usualmente se omiten los razonamientos elementales, emanados no solamente de las teorías de la producción o de la circulación, sino de la vida misma, incluso de sentido común que dan origen a abstractas y complicadas formas de razonar que se expresan en el lenguaje de la ciencia de la cantidad, que es la matemática.

En la educación en teoría administrativa, económica o sociológica, se nos hace referencia a la matemática como una ciencia autónoma, casi engendrada en el ser humano por un soplo divino y se llega al atrevimiento de sostener que quien sabe matemática puede saberlo todo. Nada más falso. Ni siquiera un buen matemático puede presumir que es o que puede ser al mismo tiempo un buen economista o un buen sociólogo por sus aptitudes o actitudes matemáticas. Peor si como también usualmente sucede, la matemática ha sido aprehendida cono un ramillete de fórmulas y procedimientos rígidos, de rutinario ejercicio mental, que en lugar de ensanchar los músculos del intelecto los adelgaza hasta volverlos raquíticos e impotentes para cuantificar creativamente los fenómenos de una realidad que necesita transformación.

La matemática que se nos ofrece normalmente consiste en complicaciones formales, y de ahí que se presuma de cualquier matemático puede dar clases de matemática financiera, sin saber de finanzas o que dirija estudios económicos y sociales sin ser sociólogo o economista. O todavía con un razonamiento rayano en el abuso demagógico, que los dirigentes científicos del futuro tienen que ser necesariamente matemáticos.

Sin demeritar la importancia de la matemática, sostenemos que esta ciencia es una ciencia auxiliar del conocimiento humano, es una ciencia que esencialmente ayuda a caracterizar un fenómeno por la vía de su medición y proyección mensurable. Lo fundamental en un fenómeno es calificarlo, cualificarlo, descubrir sus propiedades y regularidades y sistematizar el conocimiento sobre su calidad y en lo necesario sobre sus elementos de cantidad. Por eso la matemática, so pena de ser una ciencia estéril, parcial, formal, no puede separarse de la Filosofía, especialmente de la Epistemología (de la teoría del conocimiento), de la Lógica (de la forma de pensar correctamente), de la Historia (la propia matemática tiene su historia, que nos dice cómo, porqué y para qué fue construida), de la Tecnología y de las Ciencias aplicadas que le dan origen, sentido, fundamento, desarrollo, cambio, relaciones y proyecciones.

Nos parece que desde el punto de vista del proceso de enseñanza aprendizaje, se tienen que hacer esfuerzos para la elaboración de instrumentos conceptuales más didácticos en el caso de las explicaciones matemáticas, a fin de orientarlas a la interpretación de lo concreto, incluso partiendo del sentido común. Un ejercicio de esta naturaleza, que pretende simplificar una explicación matemática más compleja es el que realizamos con los índices de precios.

2. Lógica corriente y lógica matemática

A cualquier persona, le resulta completamente explicable, que el gasto actual o presente esta medido por la cantidad de productos y servicios que se adquieren, multiplicados por su respectivo precio: p1 por q1, p1 x q1, p1 * q1 o simplemente p1q1, donde “p” es el precio, “q” es la cantidad de bienes y servicios que se adquieren a determinado precio y el subíndice 1 indica que se trata del período presente, para diferenciarlo de otros períodos pasados, que se indican con el subíndice “0” (cero) o futuros con subíndices correlativamente mayores, según sea el período: 2, 3, 4 y así sucesivamente.

También resulta comprensible, que exista una preocupación cotidiana, en toda persona, familia o empresa, por examinar si el ingreso que será equivalente al gasto que se realiza o se realizará en la actualidad o en el futuro, los tiene o los tendrá en mejores o en peores condiciones económicas que antes.

El ser humano trata de enriquecerse, de progresar, en el sentido amplio del término, generando y adquiriendo más y mejores bienes y servicios. Y por ello examina y mide la situación económica en términos de capacidad adquisitiva para determinar si la situación económica presente es mejor o peor que la del pasado.

Naturalmente que el gasto que realizamos en el pasado tiene el mismo método de cálculo que el gasto actual: la multiplicación del precio por la cantidad de productos adquiridos, de todos y cada uno de ellos.

La diferencia conceptual cualitativa entre gasto pasado y presente, la expresamos en forma matemática usando un subíndice “cero” para referirnos al gasto pasado y el subíndice “uno” para referirnos al gasto presente. De manera que el gasto en el período pasado es: p0q0.

De lo dicho hasta este momento se extraen posibilidades de comparación matemática. Se puede comparar, como es lógico, la situación del gasto presente, con el gasto pasado y viceversa, el gasto pasado con el gasto presente.

Matemáticamente estas situaciones se expresan con las fórmulas:

p1q1 ÷ p0q0

y también

p0q0 ÷ p1q1

El hecho de que en la expresión matemática se cambie de posición el gasto pasado y el presente actuando alternadamente como numerador o denominador en las dos situaciones, no es intrascendente. Cuando el gasto presente actúa como numerador esta “sobre” el gasto pasado y ello significa que la situación actual se supone mejor que la anterior en cuanto a la capacidad adquisitiva. Se mide en que proporción en general se ha mejorado “hoy” con relación a “ayer”.

Por el contrario si la forma de cálculo del gasto pasado actúa como numerador, el “pasado” esta sobre el “presente” y esto lleva implícita la suposición de que se tenían mejores condiciones de capacidad adquisitiva antes.

Es necesario recordar siempre, que la economía capitalista es la economía de mercado cuando ha alcanzado su mayor desarrollo, aún cuando se trate de países periféricos, dependientes, subdesarrollados o en vías de desarrollo. La economía de mercado tiene en la categoría precio, la categoría central, por ello algunos teóricos identifican el “sistema de mercado” como el “sistema de precios”. El precio es tanto resultante de la expresión monetaria del valor de los factores de la producción (recursos naturales, humanos, tecnológicos, capacidad empresarial) como de los factores de la circulación (interacción de la oferta y la demanda). El precio es una categoría resultante del proceso de acumulación originaria y de la interacción de la oferta y la demanda, pero también es una categoría determinante de ellas, el proceso de acumulación y de circulación también dependen en ciertos momentos históricos, del comportamiento de los precios. De manera que el precio, formando parte de la vida cotidiana de la sociedad y de los consumidores, es la variable central a analizar.

Cuando las personas dicen “que barata era la vida antes”, se refieren a que podían adquirir una mayor cantidad de productos, con menos ingresos, porque el precio de los bienes y servicios era menor. Está implícito en este razonamiento la consideración de que los bienes y servicios del presente son de diferente calidad y cantidad que los de antes; aunque esta consideración no pueda expresarse en los índices simples que estamos examinando.

En la afirmación “en 1965 con 50 dólares se pagaba una letra mensual de una casa y hoy en el 2004 se necesitarían 1000 dólares mensuales para pagar la letra de la misma casa”, se encuentra implícita la valoración de que si la relación entre precio nominal y cantidad se hubieran mantenido a lo largo del tiempo, con el pago mensual de una casa hoy se hubieran podido pagar 20 casas al precio de antes.

En un razonamiento tan simple, cotidiano y básico, se pueden observar dos formas de apreciar la evolución de los precios:

• La relación del precio actual, con la cantidad de antes: p1q0

• La relación del precio de antes con la cantidad actual: p0q1

Ahora bien, estas relaciones necesitan un punto de comparación, ya sea con la situación anterior o con la actual. Para establecer esta comparación es necesario recordar el criterio de cálculo del gasto, de que las cantidades demandadas dependen de los precios. Por ello en la comparación es necesario mantener como constante las cantidades, para examinar en que medida la capacidad adquisitiva ha mejorado o empeorado, conforme la variación de los precios.

De forma que se tendría:

Primera situación: relaciona el precio actual, con la adquisición de las mismas cantidades de bienes y servicios que antes se consumían, y las compara con los precios de antes para adquirir las cantidades de antes:

p1q0 ÷ p0q0

Nótese que la cantidad se mantiene constante y que lo que varía es el precio. Este es el índice de Laspeyres.

Segunda situación: relaciona el precio de antes con las cantidades y los precios de hoy. Lo que varía es el precio, manteniendo las cantidades constantes, debe recordarse que normalmente, se considera que la situación mejora en el presente con relación al pasado y por ello, el precio de antes, con subíndice 0, se coloca en el denominador.

En virtud de ello, tenemos: p1q1÷p0q1.

Este es el índice de Paasche.

Los precios y las cantidades, deben ser individualmente considerados, pero es claro, que la suma de todos y cada uno de ellos, dará como resultado el gasto total. Como sabemos la sumatoria la expresamos con la letra griega sigma: 

3. Las tres fórmulas de los índices de precios

De manera que, al final de estas explicaciones simplificadas, tenemos tres fórmulas:

Indice general de gastos: mide la razón de los precios y cantidades de bienes y servicios, y por ende de los gastos e ingresos necesarios del período 1, con los del período base y compara si hoy se tiene mayor o menor capacidad adquisitiva por la variación de precios y cambios en consumo de bienes y servicios.

Sumatoria p1q1 ÷ Sumatoria p0q0

Indice de Lapeyres: con el precio actual estima el costo de las cantidades adquiridas en el período base, comparándolas con el precio y cantidades que sirvieron de base. Nos indica si con los precios e ingresos actuales se pueden comprar los mismos bienes que antes y en cuanto han variado los precios y consecuentemente la capacidad adquisitiva de los ingresos.

Sumatoria p1q0 ÷ Sumatoria p0q0

Indice de Paasche: mide el precio y el costo de todas las cantidades de bienes y servicios que “se consumen hoy” y los compara para examinar si con los precios de antes se pudieran adquirir los bienes que hoy se demandan. Es otra forma de medir si la situación de precios y cantidades ha mejorado, a partir de las variaciones en el precio.

Sumatoria p1q1 ÷ Sumatoria p0q1

Carlos Evaristo Hernández, MAE
carlosevaristoh@gmail.com